Даны вектора: $\bar{a}=3\bar{i}$, $\bar{b}=-\bar{i}+3\bar{j}$, $\bar{c}=\bar{i}+5\bar{j}$. Разложить вектор $\bar{c}$ по векторам $\bar{a}$ и $\bar{b}$.
Показать, что векторы $\bar{a}$, $\bar{b}$, $\bar{c}$ образуют базис. Найти разложение вектора $\bar{d}$ по этому базису, если $\bar{a}=(2;2;3)$, $\bar{b}=(5;1;2)$, $\bar{c}=(-1;-3;-2)$, $\bar{d}=(8;0;1)$.
В базисе $\bar{e}_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\end{array} \right)$, $\bar{e}_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0\end{array} \right)$, $\bar{e}_3=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1\end{array} \right)$ заданы векторы $\left(\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 0\end{array} \right)$, $\left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -3\end{array} \right)$, $\left(\begin{array}{c} 0 \\ -8 \\ 4\end{array} \right)$. Установить, составляют ли они базис. Если составляют, то найти связь между новым и старым базисами, а также найти компоненты вектора $\bar{p}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 4\end{array} \right)$ в новом базисе.
Найти базу системы векторов и выразить оставшиеся векторы через базу: $a_1=(-4;6;8;0)$, $a_2=(-1;1;4;1)$, $a_3=(-3;5;4;-1)$, $a_4=(-3;5;4;-1)$, $a_5=(2;-4;0;2)$.
Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через этот базис: $a_1=(5;3;4;3;2)$, $a_2=(0;0;-1;-1;0)$, $a_3=(5;3;6;5;2)$, $a_4=(10;6;11;9;4)$.
Дана система векторов $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$, в которой $a_3=(0;1;1;2)$, $a_4=(1;1;1;3)$, $a_5=(1;0;-2;-1)$, $a_6=(1;0;1;2)$. Дополнить линейно независимую часть $a_1=(3;3;2;8)$, $a_2=(0;4;-3;1)$ до базиса системы векторов $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$ и все векторы, не входящие в базис, разложить по базису.