Применение криволинейных интегралов первого рода

Найти длину дуги кривой $y=\ln\sin{x}$, $\frac{\pi}{3}\le{x}\le\frac{2\pi}{3}$.

Найдите длину дуги $AB:\left\{\begin{aligned} & x=4\cos{t};\\ &y=4\sin{t};\\&z=2t.\end{aligned}\right.$, $0\le{t}\le\frac{\pi}{2}$.

С помощью криволинейного интеграла первого рода найдите массу $M$ дуги плоской материальной кривой, заданной уравнениями:

1. $y=e^x$, $\rho(x,y)=1$, $x_1=\ln\sqrt{3}$, $x_2=\ln\sqrt{8}$.
2. $\left\{\begin{aligned}&x=2\sqrt{t};\\&y=\frac{2}{3}t\sqrt{t}.\end{aligned}\right.$, $\rho(x,y)=\sqrt{1+\frac{3}{4}xy}$, $t_1=1$, $t_2=4$.

Найти массу кривой $r=7(1+\cos\varphi)$, $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ с линейной плотностью $\gamma=\sin\varphi$.

С помощью криволинейного интеграла первого рода найдите массу $M$ дуги пространственной материальной кривой, заданной уравнениями $\left\{\begin{aligned} &x=2\cos{t};\\&y=\sin{t};\\&z=t. \end{aligned}\right.$ при $0\le{t}\le\frac{\pi}{2}$, если плотность $\rho=\frac{zy}{\sqrt{6-x^2-y^2}}$.

Найти массу дуги кривой $(x+1)^2+\frac{(y-2)^2}{49}=1$ при $x\ge{-1}$, $y\le{2}$, если её плотность $\rho(x,y)=2x-y-xy+2$.

Вычислить момент инерции относительно начала координат участка однородной линии $\left\{\begin{aligned} &x=2(\cos{t}+t\sin{t});\\&y=2(\sin{t}-t\cos{t}). \end{aligned}\right.$, ($0\le{t}\le{2\pi}$).

Вычислить площадь поверхности цилиндра $x^2+y^2=a^2$, ограниченной цилиндром $x^2+z^2=a^2$.

Найти статический момент $M_x$ участка кривой $y=\sqrt{1+e^x}$, $0\le{x}\le\ln{3}$. Плотность $\rho=3$.

Найти координаты центра масс однородной плоской кривой $L$: $x=e^t\sin{t}$, $y=e^t \cos{t}$, $0\le{t}\le\frac{\pi}{2}$.

Найти координаты центра масс однородной плоской кривой $L$, где $L$ – дуга окружности радиуса $R$, стягивающая центральный угол $\alpha$.