Решить систему уравнений $\left\{ \begin{aligned}& x_1+x_2-2x_3=4;\\& -5x_1-4x_2+x_3=-11;\\& 2x_1-x_2-3x_3=7.\end{aligned} \right.$ тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.
Доказать совместность системы линейных уравнений $\left\{ \begin{aligned}& x_1-2x_2+3x_3=6;\\& 2x_1+3x_2-4x_3=20;\\& 3x_1-2x_2-5x_3=6.\end{aligned} \right.$ и решить её: а) средствами матричного исчисления; б) методом Гаусса; в) по формулам Крамера.
Исследуйте квадратную систему линейных уравнений $\left\{\begin{aligned}& x_1-\lambda x_2=3;\\& 2x_1+4x_2=\lambda.\end{aligned} \right.$ при различных значениях вещественного параметра $\lambda$. Решите, если это возможно, данную систему методом Крамера при $\lambda=\frac{1}{2}$.
Проверить систему $\left\{ \begin{aligned}& 2x_1-x_2+x_3-x_4=2;\\& x_1+x_2+2x_3=1;\\& x_1-x_2+3x_4=1; \\& 3x_1+3x_3-x_4=3.\end{aligned} \right.$ на совместность. В случае, если система совместна, построить решение.
Доказать совместность системы $\left\{ \begin{aligned}& -x_1-9x_2-4x_3=-8;\\& 2x_1+7x_2+3x_3+x_4=6;\\& 3x_1+5x_2+2x_3+2x_4=4.\end{aligned} \right.$ и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.
Дана система $\left\{ \begin{aligned}& 2x_1+3x_2+x_3+2x_4-x_5=3;\\& -x_1+x_2+2x_3+2x_4-3x_5=3;\\& x_1+4x_2+3x_3+4x_4-4x_5=6.\end{aligned} \right.$. С помощью теоремы Кронекера-Капелли установить совместность системы.
Исследовать СЛАУ $\left\{ \begin{aligned}& x_1+2x_2-x_3+x_4=1;\\& 3x_1-x_2+2x_3-x_4=-1;\\& 2x_1+3x_2-2x_3+x_4=-3.\end{aligned} \right.$ на совместность и в случае совместности решить её методом Гаусса. Указать число базисных решений и найти одно из них.
Используя метод Жордана-Гаусса, исследовать совместность системы уравнений $\left\{ \begin{aligned}& x_1+2x_2+x_3+5x_4+7x_5=8;\\& 2x_1+2x_2+2x_3+6x_4+12x_5=12;\\& x_1+3x_2+3x_3+5x_4+12x_5=16.\end{aligned} \right.$ и если она совместна, то найти её решение. Если система неопределённая, то найти два общих и соответствующие им базисные решения.
Исследовать на совместность и несовместность систему $\left\{ \begin{aligned}& x_1+x_2+x_3=1;\\& x_1+(1+\lambda)x_2+x_3=1;\\& x_1+x_2+(1+\lambda)x_3=1.\end{aligned} \right.$ и найти общее решение в зависимости от значения параметра $\lambda$.
Используя теорему Кронекера-Капелли, исследовать на совместность систему линейных уравнений: $\left\{ \begin{aligned}& 2x_1-x_2+3x_3+5x_4=4;\\& x_1+2x_2+6x_3+3x_4=-2;\\& x_1-8x_2-12x_3+x_4=14; \\& 4x_1+3x_2+15x_3+11x_4=0.\end{aligned} \right.$
Исследовать однородную СЛАУ $\left\{ \begin{aligned}& x_1+2x_2+x_3+4x_4+x_5=0;\\& 2x_1+x_2+3x_3+x_4-5x_5=0;\\& x_1+3x_2-x_3+6x_4-x_5=0.\end{aligned} \right.$ на существование нетривиального решения. В случае существования найти общее решение и выделить из него фундаментальную систему решений.
Найти фундаментальную систему решений заданной СЛАУ: $\left\{ \begin{aligned}& 2x_1+2x_3+2x_4+x_5=0;\\& 6x_1+2x_2+4x_3+5x_4+x_5=0;\\& 6x_1+4x_2+2x_3+4x_4-x_5=0\\& 8x_1+8x_2+4x_4-4x_5=0.\end{aligned} \right.$
Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность системы уравнений: $\left\{ \begin{aligned}& 2x_1+3x_2+7x_3+2x_4+x_5=13;\\& 4x_1+2x_2+10x_3+12x_4+14x_5=14;\\& 5x_1+3x_2+13x_3+14x_4+16x_5=20.\end{aligned} \right.$
Исследовать на совместность и найти общее решение системы: $\left\{ \begin{aligned}& 3x_1-5x_2+2x_3+4x_4=2;\\& 7x_1-4x_2+x_3+3x_4=5;\\& 5x_1+7x_2-4x_3-6x_4=3.\end{aligned} \right.$
Исследовать на совместность и найти общее решение системы: $\left\{ \begin{aligned}& 9x_1-3x_2+5x_3+6x_4=4;\\& 6x_1-2x_2+3x_3+4x_4=5;\\& 3x_1-x_2+3x_3+14x_4=-8.\end{aligned} \right.$