Найти массу материальной области $D$ с плотностью $\gamma=x$, где $D$ – пространственная область, ограниченная поверхностями $x+2y+z=6$, $x=0$, $y=0$, $z=0$, $y=2$.
Найти массу тела с помощью тройного интеграла. Тело ограничено поверхностями $y=x$, $y=0$, $x=1$, $z=5\left( x^2+y^2\right)$, $z=0$. Плотность: $\rho(x,y,z)=3x+4y$.
Найти массу тела $V$ с плотностью $\mu = 2\left(x^2+y^2\right)$, если $V:\left\{\begin{aligned}&25\left(x^2+y^2\right)=z^2\\&x^2+y^2=4\\&x\ge{0};\;y\ge{0};\;z\ge{0}.\end{aligned}\right.$.
Вычислите массу неоднородного тела $T$, ограниченного заданными поверхностями: $x^2+y^2=\frac{16}{49}z^2$, $x^2+y^2=\frac{4}{7}z$, $x=0$, $y=0$, ($x\ge{0}$, $y\ge{0}$). Плотность в каждой точке $\mu=80yz$.
Тело $V$ задано ограничивающими поверхностями: $x^2+y^2+z^2=4$, $x^2+y^2=z^2$, $x=0$, $y=0$ ($x\ge{0}$, $y\ge{0}$, $z\ge{0}$); $\mu=6z$ – плотность. Найти массу тела.
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравенствами: $x^2+y^2+z^2\le{4}$, $x^2+y^2+z^2\ge{1}$, $z\ge{0}$, $\mu=x^2+z$.
Найти массу шара радиуса $R$, если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна 2.
Найти момент инерции относительно точки $O(0;0;0)$ пространственной области $D$, ограниченной поверхностями $x+y+2z=4$, $x=0$, $y=0$, $x=3$. Плотность $\gamma=z$.
Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела, ограниченного поверхностями $z=x^2+y^2-20$, $z=5$. Плотность тела равна 1.
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции $I_x$, $I_y$, $I_z$ однородной фигуры, ограниченной поверхностями: $2z=x^2+y^2$, $z=2$, $x\ge{0}$, $y\ge{x}$. Плотность принять равной 1.
Найти статический момент относительно плоскости $z=0$ однородного тела, ограниченного поверхностями $S_1:x^2+y^2=2z$, $S_2:x^2+y^2=3-z$.
Сделать чертёж и вычислить координаты центра тяжести и массу тела, ограниченного поверхностями $x=0$, $y=0$, $z=0$, $\frac{x}{4}+\frac{y}{10}+\frac{z}{4}=1$. Плотность в каждой точке равна $\mu(x,y,z)=10x$.
Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями $x^2=2z$, $y=x$, $y=3$, $z=0$.
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного указанными поверхностями: $S_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, $S_2:x=0$, $S_3:y=0$, $S_4:z=0$, $x\ge{0}$, $y\ge{0}$, $z\ge{0}$.