Непрерывность

Задана функция $f(x)=\left\{\begin{aligned} & x+4,\;x\lt{-1};\\& x^2+2,\; -1\le{x}\lt{1};\\ &2x,\;x\ge{1}. \end{aligned}\right.$. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

Исследовать функцию $y=\left\{\begin{aligned} & x^2+8x+15,\;x\le{-5};\\ & \lg(-2-x),\; -5\lt{x}\lt{-2};\\& 2^{-2-x},\; x\ge{-2}. \end{aligned}\right.$ на непрерывность. Сделать чертёж.

Исследовать функцию $f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)}$ на непрерывность в точке $x_0=2$ и построить её график в окрестности этой точки.

Функция $y=\left\{\begin{aligned} & \frac{4}{x},\;x\lt{-2};\\ & x,\; -2\le{x}\lt{0};\\ & 1-x,\; x\ge{0}. \end{aligned}\right.$ задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

Даны функция $y=\frac{10}{x^2-25}$ и три значения аргумента $x_1=-5$, $x_2=0$, $x_3=5$. Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и схематично построить график функции.

Найти точки разрыва функции $f(x)=\left\{\begin{aligned}& -1,\;x\le{-1};\\&\sqrt{1-x^2},\;-1\lt{x}\le{0};\\& 1-x,\; x\gt{0}.\end{aligned}\right.$ и определить характер точек разрыва. Построить график.

Для функции $y=f(x)$, которая при $x\neq{0}$ задается формулой $|x|x+\cos\left(x^2\right)+\frac{e^x-1}{x}$:

1. Доопределить ее по непрерывности при $x=0$;
2. Вычислить ее производную в точке $x=0$;
3. Вычислить ее производную в любой точке $x\neq{0}$.

Задана функция $f(x)=\left\{\begin{aligned}&\cos{x},\;x\le{0};\\&2-x,\;0\lt{x}\lt{3};\\&x^2-6x+8,\;x\ge{3}.\end{aligned}\right.$. Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Исследовать функцию $y(x)=\left\{\begin{aligned}&x^2-2,\;x\lt{3};\\&\sqrt{x+1},\;3\le{x}\le{8};\\&\ln(x-8),\;x\gt{8}. \end{aligned}\right.$ на непрерывность в точках $x_1=2$, $x_2=3$, $x_3=8$. Построить график функции. В точках разрыва второго рода построить вертикальную асимптоту.

Исследовать на непрерывность, то есть найти область непрерывности и вид точек разрыва, и построить графики функций $f(x)$:

1. $f(x)=\left\{\begin{aligned} & 3x,\;x\lt{0};\\ & \arcsin(x-1),\;0\le{x}\lt{1};\\& x^2-x,\;x\ge{1}.\end{aligned}\right.$
2. $f(x)=3^{\frac{1}{x+5}}$

Исследовать функцию $y=\frac{|x-2|}{x-2}+\frac{2}{x}$ на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Исследовать данные функции на непрерывность. Если у функции $f(x)$ имеются точки разрыва, тогда определить характер разрыва функции в этих точках (точка разрыва первого или второго рода).

1. $f(x)=1-e^{-\frac{1}{x^2}}$
2. $f(x)=\left\{\begin{aligned}& \frac{\sin{x}}{|x|},\;x\neq{0};\\&0,\;x=0. \end{aligned}\right.$

Для функции $y=3+\frac{2}{4^x-1}$ найдите точки разрыва, исследуйте их характер и сделайте схематический чертёж графика функции.

Найти точки разрыва функции $f(x)=\frac{x-1}{e^{x^2}-e}$ , определить их характер. Построить эскиз графика функции вблизи точек разрыва.

Исследовать на непрерывность функцию $y=\left\{\begin{aligned} &-x^2,\;x\le{0};\\&\tg{x},\; 0\lt{x}\lt\frac{\pi}{4};\\&4,\;x\ge\frac{\pi}{4}. \end{aligned}\right.$, построить эскиз графика.

Исследовать на непрерывность функцию $y=\frac{x^2+6x+8}{x+4}$, найти точки разрыва и определить их тип. Построить схематический график.

Для какого значения $c$ функция $h(x)=\left\{\begin{aligned}&cx^2+4x,\;x\lt{4};\\&x^3-cx,\;x\ge{4}. \end{aligned}\right.$ непрерывна?

Исследовать функцию $y=3^{\frac{1}{1+x}}$ на непрерывность в точках $x_1=0$ и $x_2=-1$. В случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа. Сделать чертёж.

Исследуйте функцию $y=\arctg\frac{1}{-x-8}$ на непрерывность. Постройте схематически график.

При каком значении $m$ функция $y=\left\{\begin{aligned}& 3^{x+2},\;x\le{-2};\\&m-x^2,\;x\gt{-2}. \end{aligned}\right.$ будет непрерывна в точке $x_0=-2$? Построить график этой функции.

Найти точки разрыва функции $y=\frac{\arcsin{x}}{\sin{2x}}$, установить их характер. В точке $x_0$ устранимого разрыва определить функцию $f$ так, чтобы её продолжение на множество $D_f\cup\{x_0\}$ было непрерывным в точке $x_0$.

Исследовать на непрерывность и построить схематично графики функций.

1. $y=\left\{\begin{aligned}&\log_2|x|,\;x\le{1};\\&\sqrt{4x-x^2-3},\;1\lt{x}\le{3};\\&2-x,\;x\gt{3}.\end{aligned}\right.$
2. $y=\frac{x^3-2x^2+3x}{x}$
3. $y=e^{\frac{x}{6-2x}}$

Исследовать функцию на непрерывность. Установить тип точек разрыва и изобразить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва:

1. $f(x)=\left\{\begin{aligned}&e^x,\;x\le{0};\\&1-x,\;0\lt{x}\le{1};\\&\frac{1}{1-x},\;x\gt{1}.\end{aligned}\right.$
2. $f(x)=\frac{x-|x|}{2x}$

Выяснить характер точек разрыва функции $y=\frac{1}{1+2^{\tg{x}}}$.

Задана функция $f(x)=\left\{\begin{aligned} & x,\;x\le{-1};\\&\frac{1}{2},\;-1\lt{x}\le\frac{\pi}{6};\\&\sin{x},\;x\gt\frac{\pi}{6}.\end{aligned}\right.$. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Исследуйте функцию $f(x)=\frac{x^2-4x-12}{x^3-4x^2-12x}$ на непрерывность на указанных промежутках: $[-8;-5]$, $(-3;2)$, $[4;7)$.

Определить то значение параметра $A$, для которого функция $f(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{4}{x^2},\;x\le{-2};\\&\frac{Ax}{2},\;x\gt{-2}.\end{aligned}\right.$ непрерывна.

Найти значение параметра $a$, при котором функция $y(x)=\left\{\begin{aligned}&-\frac{6x}{11}+a,\;x\le{3};\\&\frac{x^2-2x-3}{3x^2-7x-6},\;x\gt{3}\end{aligned}\right.$ непрерывна на всей числовой оси.

Найти значение параметра $a$, при котором функция $y(x)=\left\{\begin{aligned}& e^{x-4a},\;x\le{0};\\&\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{x}},\; x\gt{0}.\end{aligned}\right.$ непрерывна на всей числовой оси.

Найдите точки разрыва функции $f(x)=\frac{|x+1|\cdot (x+3)}{x^3+4x^2+3x}$ и определите их типы.